On the weighted harmonic mean in the k-dimensional Euclidean space

Abstract

In the introduction, it is indicated the main object of the study - the weighted harmonic mean of a certain special set of numbers in the k-dimensional Euclidean space. Basic definitions and notations are given. The aim of the paper is to study the extreme properties of the harmonic mean. The idea of writing the article arose in connection with three problems presented in the book of problems of G. Polia and S. Sege “Problems and theorems in analysis”. Let a set of points be arbitrarily fixed within a circle and one variable point runs through the boundary of this circle. The Euclidean distance between a variable point and each point of a given set is determined. From these distances the geometric, arithmetic and harmonic means are formed. It is stated that the geometric mean of the distances has a minimum not greater than the radius and a maximum not less than the radius of the circle. This property of the geometric mean of distances will be called the “duality” condition. For the arithmetic mean and the harmonic mean of distances, in the case of the circle, the term “duality” is not satisfied. The above assertions are proved in the book of problems with the use of the apparatus of analytic in the disk functions. Before the main part of the work auxiliary lemmas having independent interest are given. In the main part, a weighted harmonic mean of the distances in the space with different dimensions is considered. It is proved that the maximum of the harmonic mean of distances is greater or equal to the radius and the minimum is less or equal to the radius if and only if the dimension of the space is three, i.e. the “duality” condition is satisfied. It is noted that for the arithmetic mean of distances “duality” condition is met if the dimension of the space is equal to one. The concept of a “correct set” of vectors which is used in the formulations and proofs of theorems is introduced. In the work, it is emphasized that the properties of the average distances depend on the dimension of the Euclidean space, on the number and location of points in a given space, on the radius of the sphere, and on the values of the input parameters. In the conclusion, on the basis of all the above statements, it is defined that the results obtained can have quite justified scientific interest and stimulate further work on this topic.

Во введении указан основной объект исследования - взвешенное среднее гармоническое некоторого специального множества чисел в k-мерном евклидовом пространстве. Даны основные определения и обозначения. Целью работы является изучение экстремальных свойств среднего гармонического. Идея написания статьи возникла в связи с приведенными в книге Г. Полиа и С. Сеге «Задачи и теоремы из анализа» тремя проблемами. Пусть внутри круга произвольным образом зафиксировано множество точек, а одна переменная точка пробегает окружность этого круга. Вводится евклидово расстояние между переменной точкой и каждой точкой из данного множества. Из этих расстояний формируются среднее геометрическое, среднее арифметическое и среднее гармоническое. Утверждается, что среднее геометрическое расстояний имеет минимум, не больший радиуса, и максимум, не меньший радиуса. Такое свойство среднего геометрического расстояний назовем условием «двойственности». Для среднего арифметического и среднего гармонического расстояний в случае круга условие «двойственности» не выполняется. Приведенные выше утверждения доказаны в задачнике с привлечением аппарата аналитических в круге функций. Перед основной частью работы приведены вспомогательные леммы, имеющие и самостоятельный интерес. В основной части рассмотрено взвешенное среднее гармоническое расстояний в пространстве с различной размерностью. Доказано, что максимум среднего гармонического расстояний будет больше либо равен радиусу, а минимум - меньше либо равен радиусу тогда и только тогда, когда размерность пространства равна трем, т.е. условие «двойственности» выполняется. Заметим, что для среднего арифметического расстояний условие «двойственности» выполняется, если размерность пространства равна единице. Введено понятие «правильного набора» векторов, которое использовано в формулировках и доказательствах теорем. В работе подчеркнуто, что свойства средних расстояний зависят от размерности евклидового пространства, количества и расположения точек в данном пространстве, радиуса шара, а также от значений вводимых параметров. В заключении на основании всех приведенных выше утверждений сделан вывод, что полученные результаты могут иметь вполне оправданный научный интерес и быть стимулом к дальнейшей работе по данной тематике.