The discount version of large deviations for a randomly indexed sum of random variables

Abstract

In this paper, we consider a compound random variable Z = PN j=1 vjXj , where 0 < v < 1, Z = 0, if N = 0. It is assumed that independent identically distributed random variables X1,X2, . . . with mean EX = μ and variance DX = 2 > 0 are independent of a non-negative integer-valued random variable N. It should be noted that, in this scheme of summation, we must consider two cases: μ 6= 0 and μ = 0. The paper is designated to the research of the upper estimates of normal approximation to the sum ˜ Z = (Z − EZ)(DZ)−1/2, theorems on large deviations in the Cramer and power Linnik zones and exponential inequalities for P( ˜ Z > x).

Šiame darbe nagrinėjame sudėtinį atsitiktinį dydį Z = PN j=1 vjXj , čia 0 < v < 1, Z = 0, jei N = 0. Laikoma, kad nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai Xj , j = 1, 2, . . . , turintys vidurkius EX = μ ir dispersijas DX = 2 > 0, yra nepriklausomi nuo neneigiamas sveikas reikšmes įgyjančio atsitiktinio dydžio N. Pažymėtina, kad tokioje sumavimo schemoje mes turime nagrinėti du atvejus: μ 6= 0 ir μ = 0. Šis darbas yra skirtas sumos ˜ Z = (Z−EZ)(DZ)−1/2 pasiskirstymo funkcijos aproksimacijos normaliąja pasiskirstymo funkcija viršutiniams įverčiams, didžiųjų nuokrypių teoremoms tiek Kramerio, tiek laipsninėse Liniko zonose ir tikimybės P( ˜ Z > x) eksponentinėms nelygybėms gauti.