Adaptyvieji algoritmai elipsiniams uždaviniams

Abstract

Pagrindinis šio darbo tikslas - sudaryti efektyvius skaitinius algoritmus elipsinio tipo uždaviniams spręsti. Galiorkino metodu sprendžiami du uždaviniai: vienmatis pasienio sluoksnio uždavinys ir dvimatis elipsinis uždavinys su L formos geometrijos sritimi. Algoritmų efektyvumui gerinti naudojami adaptyvieji tinklai, sudaryti remiantis aposterioriniais įverčiais. Darbe parodyta kaip iš dualiųjų įverčių teorijos gauti Bakhvalovo tinklą. Taip pat parodytas Šiškino tinklo ryšys su Bakhvalovo tinklu. Iš aposteriorinių įverčių teorijos gautos σ parametro (jis naudojamas Bakhvalovo ir Šiškino tinkluose) reikšmės, kurios skiriasi skirtinguose normose. Teorinės σ reikšmės patvirtintos skaitiniais eksperimentais, jas galima naudoti kaip rekomendacija sudarant Šiškino arba Bakhvalovo tinklus. Remiantis aposterioriniais įverčiais sudaryta Šiškino tinklo modifikacija, kuri prisitaiko prie šaltinio ir reakcijos funkcijų ypatumų, atlikti skaitiniai eksperimentai. Aposteriorinių įverčių metodas pritaikytas dvimačiam uždaviniui, atlikti eksperimentai, ištirtas adaptyviojo tinklo efektyvumas.

The objective of this paper is to construct effective numerical algorithms for elliptic problems. We use Galerkin method to solve two problems: a one-dimensional boundary layer problem and the two-dimensional elliptic problem with a specific geometry of L form. To optimize computations we use adaptive meshes that are constructed from aposteriori error estimates. We show how to derive Bakhvalov mesh from aposteriori estimates. Also we show the relation between Shishkin and Bakhvalov meshes. From aposteriori estimates we derive the exact values of σ parameter(which is used in Shishkin and Bakhvalov meshes), which depends on a norm in which we calculate the error. Theoretical σ values were confirmed by calculations, they can be used as a recommendation, when a problem is being solved using Shishkin or Bakhvalov meshes. Also we use duality-based aposteriori error estimation to construct a modification of Shishkin mesh, which use additional information about parameters in differential equation, we experimentally compare this mesh with the original(Shishkin) one. We apply aposteriori error estimation technique to a two-dimensional problem and investigate efficiency of an adaptive mesh.