Erdvinių duomenų modeliavimas naudojant stacionarių erdvinių procesų semivariogramas

Abstract

Disertacijoje nagrinėjama erdvinių duomenų su stacionariomis klaidomis modeliavimo per semivariogramas ir tiesinio prognozavimo metodika. Erdvinių duomenų skiriamasis bruožas – jų išsidėstymas erdvėje, kuris dažniausiai aprašomas geografinėmis koordinatėmis. Tokių duomenų modeliavimas semivariogramomis, ir prognozavimas krigingu yra vienas iš svarbių geostatistikos mokslo uždavinių. Krigingas yra stochastinis prognozavimo metodas, kuris prie tam tikrų salygų pateikia geriausią tiesinę nepaslinktą prognozę. Krigingo rezultatų paklaidos priklauso nuo to kaip tiksliai erdvinių duomenų sklaida aprašoma kovariacine funkcija arba semivariograma. Darbe dėmesys skiriamas semivariogramoms, nes jos aprašo platesnę erdvinių procesų klasę. Pagrindinis disertacijos tikslas yra apibendrinti ir realizuoti vieningą erdvinių duomenų su stacionariomis klaidomis modeliavimo metodiką, pagrįstą semivariogramomis. Darbo objektai yra semivariogramos, jų modeliai, įvairūs erdvinių duomenų prognozavimo metodai bei erdvinių duomenų modeliavimo, prognozavimo etapai. Šių objektų analizė bei interpretacija prie tam tikrų sąlygų leidžia gauti geriausius erdvinių duomenų modeliavimo bei prognozavimo rezultatus. Taip pat disertaciniame darbe empiriniam Materon‘o semivariogramų įvertiniui MoM pateikta dispersijų-kovariacijų matricos išraiška per teorines semivariogramas stacionaraus Gauso duomenų modelio atvejui. Tiriami erdvinių duomenų vidurkio modelio parametrų bei semivariogramų vertinimo metodai. Išvedama vidurkio parametrų apibendrinto mažiausių kvadratų įvertinio formulė per semivariogramas. Vėliau vidurkio modelio parametrams D ir A kriterijų funkcijų išraiškos pateikiamos per semivariogramas. Šie kriterijai panaudoti nustatant optimalų taškų išsidėstymą taisyklingoje 2x2 gardelėje. Taip pat Lahiri et al. (2002) apibrėžtam didėjančios erdvės asimptotikos erdviniam imčių planui LIDA įrodytas MoM įvertinio asimptotinis normališkumas atvejui, kai duomenų modelio klaidos yra stacionarios ir gausinės. Išvesta asimptotinės dispersijų-kovariacijų matricos išraiška izotropinės eksponentinės semivariogramos atvejui. Praktiniams skaičiavimams atlikti naudoti įvairūs atviro kodo R sistemos paketai. Disertaciją sudaro įvadas, keturi skyriai, rezultatų apibendrinimas, naudotos literatūros ir autoriaus publikacijų disertacijos tema sąrašai bei keturi priedai.

The main objective of this thesis is to propose the methodology for modeling and prediction of spatial data through semivariograms, when the spatial data are generated by spatial processes with stationary errors. The main distinguishing of spatial data is their distribution in space, which usually expressed in geographic coordinates. The modeling of such data through semivariograms and prediction by kriging is one of main objective of geostatistic science. Kriging is a stochastic prediction method, which under certain conditions provides the best linear unbiased prediction. The efficiency of kriging depends on how accurately the covariance function or semivariogram describes the variation of spatial data. This work focuses on semivariograms, because it covers the wider class of spatial processes. The objects of thesis are semivariograms, their models, the various prediction methods of spatial data and the stages of modeling of spatial data. The analysis and interpretation of these objects under some conditions provide the best results of spatial data modeling and prediction. Also the expression of asymptotic variance-covariance matrix for empirical semivariogram estimator of Matheron (MoM) is derived through theoretical semivariogram in case of stationary Gausian model of data. The methods, which are used for evaluation of parameters of mean models or semivariograms, are analised. The formula of mean parameters of generalized least squares estimator is derived through semivariogram. Further, the expressions of D and A criterion functions for parameters of mean models are given through semivariogram. These criterions are often used for determination of optimal spatial sampling design. The received expressions were applied to identify the optimal design of points in regular 2x2 grid, with the center (0,0). Also, for increasing domain asymptotic spatial sampling design the asymptotical normality of MoM estimator, when errors of data model are stationary and Gausian is proofed. The expression of asymptotic variance-covariance matrix in the case of exponential isotropic semivariogram is derived. To perform practical calculations the various functions of open source R packages were used. The scientific work consists of the general characteristic of the dissertation, 4 chapters, conclusions, list of literature, list of publications and addenda.