О некоторых экстремальных свойствах средних расстояний в евклидовом пространстве

Abstract

В известном задачнике Г. Полиа и Г. Сеге «Задачи и теоремы из анализа» сформулирована следующая задача: «Пусть в круге произвольным образом фиксировано некоторое множество точек, а одна переменная точка пробегает границу этого круга. Тогда среднее геометрическое расстояний от этой точки до фиксированных точек имеет максимум, не меньший радиуса круга, а минимум – не больший радиуса круга». Оказалось, что в случае среднего арифметического для минимума и среднего гармонического для максимума указанное выше свойство среднего геометрического не всегда имеет место. В данной статье мы выясняем, почему такое нарушение происходит.

In the well-known book “Problems and theorems in analysis” by G. Polya and G. Szego the following problem is formulated: Suppose that a set of points is arbitrarily fixed in a circle and one variable point runs over the boundary of this circle. Then the geometric mean of the distances from this point to the fixed points has a maximum not less than the radius of the circle, and a minimum not greater than the radius of the circle. It turned out that in the case of the arithmetic mean for the minimum and the harmonic mean for the maximum, the above property of the geometric mean does not always hold. In this article, we find out why such a violation occurs.