Theorems of large deviations for the sums of a random number of independent random variables

Abstract

The research object of this thesis is the sum of a random number of summands of independent identically distributed random variables with positive weights. Such sums appear as models, for example, in insurance, finance mathematics. Throughout the thesis, it is assumed that the random number of summands is independent of the summands, the summands satisfy S. N. Bernstein's condition, and the random number of summands together with weights satisfy some compatibility conditions. The aim of this dissertation is a normal approximation to a distribution of the sum of a random number of summands of independent identically distributed random variables with positive weights that takes into consideration large deviations in both the Cramer and the power Linnik zones.

Disertacinio darbo tyrimo objektas yra atsitiktinio dėmenų skaičiaus nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių atsitiktinių dydžių su teigiamais svoriniais koeficientais sumos, kurios kaip modelis sutinkamos, pavyzdžiui, finansų, draudos matematikose. Daromos prielaidos, kad atsitiktinis dėmenų skaičius yra nepriklausomas nuo sumos dėmenų, atsitiktiniai dėmenys tenkina apibendrintą S. N. Bernšteino sąlygą, o atsitiktinis dėmenų skaičius kartu su svoriais tenkina tam tikras suderinamumo sąlygas. Disertacijos tikslas yra standartizuotos (centruotos ir normuotos) minėtos atsitiktinės sumos skirstinio aproksimacija standartiniu normaliuoju dėsniu didžiųjų nuokrypių tiek Kramero, tiek ir laipsninėse Liniko zonose.