Apie stochastinių diferencialinių lygčių sprendinių Hursto indekso vertinimą

Abstract

Pagrindinė šios disertacijos tema - stochastinių diferencialinių lygčių (SDL), valdomų trupmeninio Brauno judesio (tBj), sprendinių Hursto indekso H vertinimas. Pirmiausia disertacijoje išnagrinėta SDL, valdomų tBj, sprendinių pirmos ir antros eilės kvadratinių variacijų ribinė elgsena. Iš šių rezultatų seka keli stipriai pagrįsti Hursto indekso H įvertiniai. Įrodyta, kad šie įvertiniai išlieka stipriai pagrįsti, jei tikra sprendinio trajektorija keičiama jos Milšteino aproksimacija. Taip pat išnagrinėtos pokyčių santykio (increment ratios) statistikos H įvertinio, gauto J. M. Bardeto ir D. Surgailio 2010 m., taikymo trupmeninio geometrinio Brauno judesio Hursto indekso vertinimui galimybės bei nustatytas modifikuoto Gladyševo H įvertinio konvergavimo į tikrąją parametro reikšmę greitis. Gauti įvertiniai palyginti su kai kuriais kitais žinomais Hursto indekso H įvertiniais: naiviais bei mažiausių kvadratų Gladyševo ir eta-sumavimo osciliacijos įvertiniais, variogramos įvertiniu ir pokyčių santykio statistikos įvertiniu. Įvertiniu elgsena buvo palyginta trupmeniniam Ornšteino-Ulenbeko (OU) procesui bei trupmeniniam geometriniam Brauno judesiui (gBj). Pradinės išvados buvo padarytos O-U procesui, kuris yra Gauso, o gBj procesas buvo naudojamas patikrinti, kaip šie įvertiniai elgiasi, kai procesas yra ne Gauso. Disertaciją sudaro įvadas, 3 pagrindiniai skyriai, išvados, literatūros sąrašas, autoriaus publikacijų disertacijos tema sąrašas ir du priedai.

The main topic of this dissertation is the estimation of the Hurst index H of the solutions of stochastic differential equations (SDEs) driven by the fractional Brownian motion (fBm). Firstly, the limit behavior of the first and second order quadratic variations of the solutions of SDEs driven by the fBm is analyzed. This yields several strongly consistent estimators of the Hurst index H. Secondly, it is proved that in case the solution of the SDE is replaced by its Milstein approximation, the estimators remain strongly consistent. Additionally, the possibilities of applying the increment ratios (IR) statistic based estimator of H originally obtained by J. M. Bardet and D. Surgailis in 2010 to the fractional geometric Brownian motion are examined. Furthermore, this dissertation derives the convergence rate of the modified Gladyshev's estimator of the Hurst index to its real value. The estimators obtained in the dissertation were compared with several other known estimators of the Hurst index H, namely the naive and ordinary least squares Gladyshev and eta-summing oscillation estimators, the variogram estimator and the IR estimator. The models chosen for comparison of these estimators were the fractional Ornstein-Uhlenbeck (O-U) process and the fractional geometric Brownian motion (gBm). The initial inference about the behavior of these estimators was drawn for the O-U process which is Gaussian, while the gBm process was used to check how the estimators behave in a non-Gaussian case. The dissertation consists of the introduction, 3 main chapters, the conclusions, the bibliography, the list of author's publications on the topic of dissertation and two appendices.