Modelling of Spatial Data Using Semivariograms of Stationary Spatial Processes

Abstract

Spatial statistics is one of the youngest trends in the science of statistics. First, it has been applied in mining, during the fifth decade of the last century. In fifty years after this trend of science had been discovered, the circle of the scientists involved in it has grown drastically as well as areas of application. Also, a wide range of theoretical and practical material has been issued. Nowadays, spatial statistics methods are used in: ecology, quantity geology, image processing and analysis, epidemiology, studying global climate change and even cosmology. However, in Lithuania, the methodology of spatial data analysis has been studied only from the beginning of this Millennium. Since only few scientists (Dumbrauskas, A.; Kumetaitis, A.; Kumetaitienė, A. and others) are involved, it is very important to expand this area and develop the existing methods. Also it is essential to study the spatial dada modelling methods throughly and provide general spatial data modelling methodology. In order to apply the methods of spatial statistics, it is necessary to know the location of data in space, which is usually expressed in geographic coordinates. Thus, one of the main distinctions of spatial statistics which makes it different from the classical is the ability to model both spatial trend and spatial autocorrelation. One of the main objectives of spatial statistics is creating a mathematical model of spatial data, which can be used for interpolation (extrapolation) or for other purposes. To accomplish data estimation the kriging method can be used. Under certain conditions it minimizes mean square prediction error, that is to say, provides the best linear unbiased prediction. Depending on spatial data nature, the mean model of spatial process and other data characteristics, several types of kriging can distinguish. The spatial autocorrelation among observations is described by covariance function or semivariogram. The last is often used in practical researches, because it covers the wider class of spatial processes. To describe the variaton of spatial data by semivariogram, firstly, the spatial structure of observations is modelled using the graph of the empirical semivariogram. The empirical semivariogram estimator mostly is calculated by using Matheron method of moments (MoM). Then one of semivariogram parametric model is fitted. Parametric model is described by several semivariogram parameters beta. Main of them are nugget, sill and range. The best linear unbiased predictor can not be computed unless beta is known, which is typically not. To evaluate semivariogram parameters, the least squares methods (ordinary, weighted and generalised least squares methods) are often used. As stated Lahiri et al. in “On asymptotic distribution and asymptotic efficiency of least squares estimators of spatial variogram parameters“ (2002), under the general conditions the generalised least squares method (GLS) asymptotically effective by comparing with other least squares methods. The least squares methods can be also used for the estimation of parameters of the mean model. Since in literature GLS method is presented through covariances functions, it is important to take the expression of this method through semivariogram. Should also be noted that the estimators of semivariogram parameters by analytical method is not available. Therefore, the asymptotic analysis of estimators is live issue. Another frequent task in the spatial statistic is the determination of the optimal sampling plan. D and A criterion of sampling design is widely used. Again, providing of expression of D and A criterion in semivariogram form is very important.

Disertacijoje nagrinėjama erdvinių duomenų su stacionariomis klaidomis modeliavimo per semivariogramas ir tiesinio prognozavimo metodika. Erdvinių duomenų skiriamasis bruožas – jų išsidėstymas erdvėje, kuris dažniausiai aprašomas geografinėmis koordinatėmis. Tokių duomenų modeliavimas semivariogramomis, ir prognozavimas krigingu yra vienas iš svarbių geostatistikos mokslo uždavinių. Krigingas yra stochastinis prognozavimo metodas, kuris prie tam tikrų salygų pateikia geriausią tiesinę nepaslinktą prognozę. Krigingo rezultatų paklaidos priklauso nuo to kaip tiksliai erdvinių duomenų sklaida aprašoma kovariacine funkcija arba semivariograma. Darbe dėmesys skiriamas semivariogramoms, nes jos aprašo platesnę erdvinių procesų klasę. Pagrindinis disertacijos tikslas yra apibendrinti ir realizuoti vieningą erdvinių duomenų su stacionariomis klaidomis modeliavimo metodiką, pagrįstą semivariogramomis. Darbo objektai yra semivariogramos, jų modeliai, įvairūs erdvinių duomenų prognozavimo metodai bei erdvinių duomenų modeliavimo, prognozavimo etapai. Šių objektų analizė bei interpretacija prie tam tikrų sąlygų leidžia gauti geriausius erdvinių duomenų modeliavimo bei prognozavimo rezultatus. Taip pat disertaciniame darbe empiriniam Materon‘o semivariogramų įvertiniui MoM pateikta dispersijų-kovariacijų matricos išraiška per teorines semivariogramas stacionaraus Gauso duomenų modelio atvejui. Tiriami erdvinių duomenų vidurkio modelio parametrų bei semivariogramų vertinimo metodai. Išvedama vidurkio parametrų apibendrinto mažiausių kvadratų įvertinio formulė per semivariogramas. Vėliau vidurkio modelio parametrams D ir A kriterijų funkcijų išraiškos pateikiamos per semivariogramas. Šie kriterijai panaudoti nustatant optimalų taškų išsidėstymą taisyklingoje 2x2 gardelėje. Taip pat Lahiri et al. (2002) apibrėžtam didėjančios erdvės asimptotikos erdviniam imčių planui LIDA įrodytas MoM įvertinio asimptotinis normališkumas atvejui, kai duomenų modelio klaidos yra stacionarios ir Gausinės. Išvesta asimptotinės dispersijų-kovariacijų matricos išraiška izotropinės eksponentinės semivariogramos atvejui. Praktiniams skaičiavimams atlikti naudoti įvairūs atviro kodo R sistemos paketai. Disertaciją sudaro įvadas, keturi skyriai, rezultatų apibendrinimas, naudotos literatūros ir autoriaus publikacijų disertacijos tema sąrašai bei keturi priedai.