The eigenvalue problem for differential operator with nonlocal integral conditions

Abstract

In the dissertation the eigenvalue problem for a differential operator with nonlocal integral conditions and the difference analogue of this problem are analyzed. The structure of the spectrum is investigated, which is more difficult and various in comparison to the problem with classical conditions. In the first and second chapters, a nonlocal problem for the one-dimensional differential equation is investigated. In the second chapter, a difference problem is investigated. In the third and fourth chapters, the eigenvalue problem for a differential operator with nonlocal integral conditions and variable coefficients is analyzed, when variable coefficients are under nonlocal integral conditions or in the differential equation. In the scientific literature there is not a large amount of such works. Just several separate cases are considered. The eigenvalue problem for a two-dimensional operator with integral conditions is quite little investigated in the literature. M. Sapagovas (2008), and M. Sapagovas, O. Štikonienė (2009) analyzed the appropriate eigenvalue problem in their papers by investigating increased accuracy difference schemas for a Poisson equation. In the fifth chapter, the eigenvalue problem for a two-dimensional elliptic operator with integral conditions is considered. In the sixth chapter of the dissertation, the stability analysis of difference schemes of parabolic equations with nonlocal integral conditions is presented, obtained applying the results on the spectrum structure of difference operators with nonlocal conditions described in the previous chapters.

Disertacijoje nagrinėjamas tikrinių reikšmių uždavinys diferencialiniam operatoriui su nelokaliosiomis integralinėmis sąlygomis, o taip pat šio uždavinio skirtuminis analogas. Tiriama uždavinio spektro struktūra, kuri iš esmės yra sudėtingesnė ir įvairesnė, negu tokio tipo uždavinių su klasikinėmis sąlygomis. Pirmajame ir antrajame disertacijos skyriuose tiriamas nelokalusis uždavinys vienmatei diferencialinei lygčiai. Trečiajame ir ketvirtajame disertacijos skyriuose analizuojamas tikrinių reikšmių uždavinys diferencialiniam operatoriui su nelokaliosiomis integralinėmis sąlygomis ir kintamais koeficientais. Tokio tipo darbų nėra gausu mokslinėje literatūroje. Tikrinių reikšmių uždavinys dvimačiam operatoriui su integralinėmis sąlygomis literatūroje nagrinėtas gana mažai. 2008 m. M. Sapagovo ir 2009 m. M. Sapagovo, O. Štikonienės straipsniuose nagrinėjant padidinto tikslumo skirtumines schemas Puasono lygčiai spręsti buvo nagrinėtas ir atitinkamas tikrinių reikšmių uždavinys. Penktajame disertacijos skyriuje nagrinėjamas tikrinių reikšmių uždavinys dvimačiam elipsiniam operatoriui su integralinėmis sąlygomis. Šeštajame skyriuje pateikta parabolinių lygčių su nelokaliosiomis integralinėmis sąlygomis skirtuminių schemų stabilumo analizė, taikant pirmuose skyriuose gautus rezultatus apie skirtuminių operatorių su nelokaliosiomis sąlygomis spektro struktūrą.