Statistical tests based on N-distances

Abstract

The thesis is devoted to the application of a new class of probability metrics, N-distances, introduced by Klebanov (Klebanov, 2005; Zinger et al., 1989), to the problems of verification of the classical statistical hypotheses of goodness of fit, homogeneity, symmetry and independence. First of all a construction of statistics based on N metrics for testing mentioned hypotheses is proposed. Then the problem of determination of the critical region of the criteria is investigated. The main results of the thesis are connected with the asymptotic behavior of test statistics under the null and alternative hypotheses. In general case the limit null distribution of proposed in the thesis tests statistics is established in terms of the distribution of infinite quadratic form of random normal variables with coefficients dependent on eigenvalues and functions of a certain integral operator. It is proved that under the alternative hypothesis the test statistics are asymptotically normal. In case of parametric hypothesis of goodness of fit particular attention is devoted to normality and exponentiality criteria. For hypothesis of homogeneity a construction of multivariate distribution free two-sample test is proposed. Testing the hypothesis of uniformity on hypersphere in more detail S1 and S2 cases are investigated. In conclusion, a comparison of N-distance tests with some classical criteria is provided. For simple hypothesis of goodness of fit in univariate case as a measure for comparison an Asymptotic Relative Efficiency (ARE) by Bahadur (Bahadur, 1960; Nikitin, 1995) is considered. In parallel to the theoretical results the empirical comparison of the power of the tests is examined by means of Monte Karlo simulations. Besides simple and composite hypotheses of goodness of fit, hypotheses of uniformity on S1 and S2, we consider two-sample tests in uni- and multivariate cases. A wide range of alternative hypotheses are investigated.

Disertacinis darbas yra skirtas N-metrikų teorijos (Klebanov, 2005; Zinger et al., 1989) pritaikymui klasikinėms statistinėms suderinamumo, homogeniškumo, simetriškumo bei nepriklausomumo hipotezėms tikrinti. Darbo pradžioje pasiūlytas minėtų hipotezių testinių statistikų konstravimo būdas, naudojant N-metrikas. Toliau nagrinėjama problema susijusi su suformuotų kriterijų kritinės srities nustatymu. Pagrindiniai darbo rezultatai yra susiję su pasiūlytų kriterijaus statistikų asimptotiniu skirstiniu. Bendru atveju N-metrikos statistikų asimptotinis skirstinys esant nulinei hipotezei sutampa su Gauso atsitiktinių dydžių begalinės kvadratinės formos skirstiniu. Alternatyvos atveju testinių statistikų ribinis skirstinys yra normalusis. Sudėtinės suderinamumo hipotezės atveju išsamiau yra analizuojami normalumo ir ekponentiškumo kriterijai. Daugiamačiu atveju pasiūlyta konstrukcija, nepriklausanti nuo skirstinio homogeniškumo testo. Tikrinant tolygumo hipersferoje hipotezę detaliau yra nagrinėjami apskritimo ir sferos atvejai. Darbo pabaigoje lyginami pasiūlytos N-metrikos bei kai kurie klasikiniai kriterijai. Neparametrinės suderinamumo hipotezės vienamačiu atveju, kaip palyginimo priemonė, nagrinėjamas Bahaduro asimptotinis santykinis efektyvumas (Bahadur, 1960; Nikitin, 1995). Kartu su teoriniais rezultatais pasiūlytų N-metrikos tipo testų galingumas ištirtas, naudojant Monte-Karlo metodą. Be paprastos ir sudėtinės suderinamumo hipotezių yra analizuojami homogeniškumo testai vienamačiu ir daugiamačiu atvejais. Ištirtas platus alternatyvių hipotezių diapazonas.